MATEMATICA

Logaritmo

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Logaritmo
Gráfica de Logaritmo
Definición	${\displaystyle \log _{b}(x):={\frac {\ln(x)}{\ln(b)}}\,\!\,}$ ${\displaystyle \scriptstyle \mathrm {con} \;b\ \in \ \mathbb {R} _{+}\setminus \{1\}}$
Tipo	Función real
Descubridor(es)	John Napier (1614)
Dominio	${\displaystyle (0,+\infty )\,}$
Codominio	${\displaystyle (-\infty ,+\infty )\,}$
Imagen	${\displaystyle (-\infty ,+\infty )\,}$
Propiedades	Biyectiva Cóncava Estrictamente creciente Trascendente
Cálculo infinitesimal
Derivada	${\displaystyle {\frac {1}{x\ln(b)}}\,}$
Función inversa	${\displaystyle b^{x}\,}$
Límites	${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+} \atop b>1}\log _{b}(x)=-\infty \,}$ ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty \atop b>1}\log _{b}(x)=+\infty \,}$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+} \atop 0<b<1}\log _{b}(x)=+\infty \,}$ ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty \atop 0<b<1}\log _{b}(x)=-\infty \,}$
Funciones relacionadas	Función exponencial
El rojo representa el logaritmo en base e. El verde corresponde a la base 10. El púrpura al de la base 1,7.
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En análisis matemático, usualmente, el logaritmo de un número real positivo —en una base de logaritmo determinada— es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número. Por ejemplo: el logaritmo en base 10 de 1000 es 3, ${\displaystyle \log _{10}1000=3}$, porque 1000 es igual a 10 a la potencia 3: 1000 = 10³ = 10×10×10.

De la misma manera que la operación opuesta de la suma es la resta y la de la multiplicación la división, el cálculo de logaritmos es la operación inversa a la exponenciación de la base del logaritmo.

Para representar la operación de logaritmo en una determinada base se escribe la abreviatura log y como subíndice la base y después el número resultante del que deseamos hallar el logaritmo. Por ejemplo, 3⁵=243 luego log₃243=5. Cuando se sobreentiende la base, se puede omitir.

Los logaritmos fueron introducidos por John Napier a principios del siglo XVII como un medio de simplificación de los cálculos. Estos fueron prontamente adoptados por científicos, ingenieros, banqueros y otros para realizar operaciones fácil y rápidamente, usando reglas de cálculo y tablas de logaritmos. Estos dispositivos se basan en el hecho más importante —por identidades logarítmicas— que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores:

${\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y).\,}$

La noción actual de los logaritmos viene de Leonhard Euler, quien conectó estos con la función exponencial en el siglo XVIII.

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